Himpunan Matematika Dikrit

1.1          konsep dasar himpunan

dalam kehidupan nyata banyak permasalahan dilapangan yang berkaitan dengan data khususnya dalam dunia Komputer atau teknologi informasi. Data dalam hal ini data didasarkan sebagai suatu obyek berdasarkan kriteria tertentu. Berbagai jenis data, kumpulan data dan sebagainya sangat erat berkaitan dengan konsep dasar matematika yaitu Himpunan. Himpunan adalah kumpulan dari obyek-obyek yang berbeda. Untuk menyatakan, digunakan huruf capital seperti A, B, C dan sebagainya. Untuk menyatakan anggota-anggotanya digunakan huruf kecil seperti a, b, c dan sebagainya. Obyek dalam himpunan disebut elemen, unsur, entri atau anggota,

contoh, HIMATEK adalah contoh sebuah himpunan didalamnya berisi anggota berupa mahasiswa Program studi Teknik Komputer dimana tiap mahasiswa yang merupakan anggotanya berbeda satu sama lain.

1.1          Cara Penyajian Himpunan

1.1.1          Enumerasi

Cara pertama menyajikan himpunan adalah dengan cara enumerasi yaitu setiap anggota himpunan didaftarkan secara rinci.

Contoh  

•       Himpunan empat bilangan asli pertama: A = {1, 2, 3, 4}.     

•       Himpunan lima bilangan genap positif pertama: B = {2,4, 6, 8, 10}.

•       R  = { a, b, {a, b, c}, {a, c} }

•       C  = {a, {a}, {{a}} }                                                 

1.1.2          Simbol-simbol Baku

Cara kedua yaitu penulisan himpunan yang sudah baku dikhususkan bagi himpunan yang telah baku dan sering digunakan dalam penjabaran matematika

Contoh 1

·         P =  himpunan bilangan bulat positif  =  { 1, 2, 3, ... }

·         N =  himpunan bilangan alami (natural)  =  { 1, 2, ... }

·         Z =  himpunan bilangan bulat  =  { ..., -2, -1, 0, 1, 2, ... }

·         Q =  himpunan bilangan rasional

·         R =  himpunan bilangan riil

·         C =  himpunan bilangan kompleks

Terdapat penulisan simbol Himpunan dalam bentuk Universal atau biasa disebut Himpunan Semesta, disimbolkan dengan U.

Contoh 2

Misalkan U = {1, 2, 3, 4, 5} dan A adalah himpunan bagian dari U, dengan A = {1, 3, 5}.

3.2.3 Notasi Pembentuk Himpunan

Cara yang ketiga adalah dengan menggunakan notasi pembentuk himpunan. Penulisan notasi adalah sebagai berikut yaitu { x ú syarat yang harus dipenuhi oleh x }      

Contoh  1

A adalah himpunan bilangan bulat positif kecil  dari 5

 A = { x | x  bilangan bulat positif lebih kecil dari  5} atau A  =  { x | x  P, x < 5 } yang ekivalen dengan A = {1, 2, 3, 4}

Contoh 2

 M = { x | x adalah mahasiswa yang mengambil kuliah IF2151}

3.3  MENGGAMBARKAN SUATU HIMPUNAN

Menggambarkan suatu himpunan secara matematika menggunakan konsep yang diperkenalkan John Venn. Himpunan digambarkan dengan sebuah oval (tidak harus), dan anggota-anggotanya digambarkan dengan sebuah Noktah (titik) yang diberi label, sedangkan Himpunan semestanya digambarkan dengan segi empat.

Contoh  

Misalkan U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8},  A = {1, 2, 3, 5} dan B = {2, 5, 6, 8}. Dalam konteks ini U merupakan himpunan Semesta dari Himpunan A dan Himpunan B karena Himpunan U melingkupi seluruh anggota Himpunan A dan Himpunan B

1.4          SIMBOL HIMPUNAN

Simbol Î digunakan untuk keanggotaan suatu elemen dan untuk menyatakan bukan anggota digunakan symbol Ï.

Contoh

Jika C = {a, b, {a}, {b, c}, c, d, {e, 9}} maka  a Î C, b ÎC,  e ÏC, f ÏC,  {a} Î C, {e, 9} Î C, {c} ÏC, {d} ÏC, {b} ÏC, {b, c}Î C.

Selain simbol di atas, simbol lain yang sering digunakan adalah Simbol Kardinalitas yang digunakan untuk yang menyatakan banyaknya anggota dari suatu Himpunan. Notasi yang digunakan adalah n(C) atau |C| apabila menggunakan  contoh diatas yaitu Himpunan C = {a, b, {a}, {b, c}, c, d, {e, 9}}  maka kardinalitasnya adalah      n(C) = 7 atau |C| = 7

1.4          ISTILAH-ISTILAH DALAM HIMPUNAN

·         Himpunan kosong  

himpunan yang tidak memiliki anggota. himpunan kosong dinyatakan dengan simbol  Æ atau { }. himpunan {0}  bukan himpunan kosong, melainkan suatu himpunan yang mempunyai satu anggota yaitu bilangan nol.

·         Himpuan yang Ekivalen

dua himpunan yang tidak kosong A dan B dikatakan ekivalen jika banyaknya anggota A sama dengan banyaknya anggota B, ditulis dengan  n(A) = n(B)  ata  |A| = |B|. Dengan demikian dua himpunan yang sama pasti ekivalen.

·         Himpunan Bagian

himpunan B dikatakan himpunan bagian dari himpunan A  jika  setiap xÎ B maka  x Î A , dinotasikan dengan  B Ì A . Dengan demikian B Ì A  dibaca sebagai  “B terkandung di dalam A”. kita dapat juga menulis dengan       A É B , yang berarti  A mengandung B.

·         Himpunan Kuasa

himpunan kuasa dari himpunan A adalah suatu himpunan yang anggotanya adalah semua himpunan bagian dari A, termasuk himpunan kosong dan himpunan A sendiri. himpunan kuasa dinotasikan dengan p(a)  atau  2^a Contoh   :  jika  A = {a, b, 5},  maka himpunan kuasa dari A adalah {  {  }, {a}, {b}, [5}, {a,b}, {a,5}, {b,5}, {a,b,5} }

 

3.6    OPERASI DALAM HIMPUNAN

3.6.1 Operasi Gabungan  (Union)

Defenisi :   A U B  =  { x | x Î a   atau   x Îb }

Contoh

A = { 2, 3, 5, 7, 9} ; B = { 0, 1, 2, 4, 5, 6, } ; E = {1, 2, 4 }; C = { 10, 11, 14, 15} ;  D = { anto, 14, l}

maka :    

A U B      =  { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9} dan  A U D  =  {2, 3, 5, 7, 9, anto, 14, l}

B U C       =  {…………………………………………………………………………………………}         

B U D      =  {…………………………………………………………………………………………}             

C U D      =  {…………………………………………………………………………………………}

3.6.2  Operasi irisan (Intersection)

Definisi :    A Ç B  =  { x | x Î A   dan   x Î B }

Contoh :                                              

A = { 2, 3, 5, 7, 9}; B = { 0, 1, 2, 4, 5, 6, }; C = { 10, 11, 14, 15}; D = { ANTO, 14, L}; E = {1, 2, 4 }                                             

maka

A Ç B = {2, 5}        E Ç B = { 1,2,4}     A Ç C = { }           A Ç E = {2}               D Ç C = {14}          A Ç D = { }

3.6.4  Operasi beda setangkup (Simetris)

Definisi: A Å B = { x | (x Î A atau  x Î B) dan  x Ï(A Ç B) }

Operasi beda setangkup dapat juga diperoleh dengan cara A Å B  =  (A U B) – (A Ç B) atau A Å B  =  (A - B) U (B - A)

contoh   

•        A = {1,2,3,5,6,8,9,10}    ;    B = {2,7,8,11} ;   C = {1,3,5,7,9,11}    ;    D = {0,1,2,5,6,7,9,12}

maka    

•       A Å B ={1,2,3,5,6, 7,8,9,10,11} = {1,3,5,6, 7, 9,10,11}

•       B Å C = {1,2,3,5, 7,8,9, 11} = {1,2,3,5,8,9}

•       A Å C = {………………………………………………………………………………………}

•       A Å D = {………………………………………………………………………………………}

3.6.5. Operasi  Pelengkap (Complement)

definisi :  A^C    =  { x | x Ï A dan  x Î S }

contoh  :  

•       S = { x | x bilangan asli  £ 14}; A = { 2, 3, 5, 6, 8); B = {1, 2, 4, 6, 7, 9, 13}

maka : 

•       A^C = { 1,4,7, 9,10,11,12,13,14}  dan B^C = {3,5, 8,11,12,14}

3.7 PRINSIP INKLUSI – EKSKLUSI DALAM HIMPUNAN

3.7.1 Konsep Inklusi dan Eksklusi dengan Dua Himpunan

Jika  A dan B adalah himpunan-himpunan berhingga, maka  A U B  dan  A ÇB  juga berhingga, dan

| A U B | = |A| + |B| - | A Ç B |

Banyaknya elemen hasil penggabungan dua himpunan A dan B sama dengan banyaknya elemen himpunan A  ditambah dengan banyaknya elemen himpuanan B, dikurangi dengan  banyaknya elemen hasil irisan A dan B

3.7.2 Konsep Inklusi dan Eksklusi dengan Tiga Himpunan

Jika A, B, dan C adalah himpunan-himpunan berhingga, maka

| A U B U C | =  |A|  + |B| + |C|  -  |A Ç B|  -   |A Ç C|  -  |B Ç C|  +  A Ç B Ç C |

Contoh 1

Hasil survei terhadap  60 orang pembaca Majalah Komputer, diperoleh data sebagai berikut:

25 orang membaca majalah InfoTech, 26 orang membaca majalah Chip, 26 orang membaca PC Magazine, 9 orang membaca InfoTech dan PC Magazine, 11 orang membaca InfoTech dan Chip, 8 orang membaca Chip dan PC Magazine, 3 orang membaca Ketiganya. Tentukan:

a. Banyaknya orang yang membaca paling sedikit satu buah Majalah Komputer.

b. Gambarkan diagram Venn untuk masalah ini,

c. Berapa orang yang membaca hanya satu Majalah?

Solusi Kita misalkan:

A = Himpunan orang yg suka baca Majalah InfoTech; B = Himpunan orang yg suka baca majalah Chip;

C = Himpunan orang yg suka baca Majalah PC Magazine

Maka

|A| = 25                |B| = 26                 |C| = 26                

|A Ç B|=  11         |B Ç C|=  8           |A Ç C|=  9           |A Ç B Ç  C|=  3                                 

Sehingga

a.  |A È B È C| = |A|  + |B| + |C|  -  |A Ç B|  -   |A Ç C|  -  |B Ç C|  +  A Ç B Ç C |

                            =   25 + 26 + 26  - 11 – 9 – 8 + 3 = 52

Dengan menggunakan alat bantu Diagram Venn, kita juga dapat menentukan

•       Yang baca InfoTech & Chip tetapi tidak PC Magazine    = 11 – 3                                 = 8

•       Yang baca InfoTech & PC Magazine tetapi tidak Chip    = 9 – 3                    = 6

•       Yang baca Chip & PC Magazine tetapi tidak InfoTech    = 8 – 3                    = 5

•       Yang baca InfoTech saja                                                      = 25 – 8 – 3 – 6    = 8

•       Yang baca Chip saja                                                              = 26 – 5 – 3 – 8    = 10

•       Yang baca PC Magazine saja                                               = 26 – 5 – 3 – 6    = 12

c) Banyak orang yang membaca hanya satu Majalah saja = 8  + 10 + 12 = 30

Contoh 2

Berapa banyaknya bilangan bulat antara 1 dan 100 yang habis  dibagi 3 atau 5?

Penyelesaian:

A = himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 3, B = himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 5, A Ç B =  himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 3 dan 5 (yaitu himpunan bilangan bulat yang habis dibagi oleh KPK – Kelipatan Persekutuan Terkecil – dari 3 dan 5, yaitu 15),

Masalah: ½A È B½

Solusi

½A½ = ë100/3û  = 33, ½B½ = ë100/5û  = 20, ½A Ç B½ = ë100/15û  = 6

Maka ½A È B½ = ½A½ + ½B½ –  ½A Ç B½ = 33 + 20 – 6 = 47 jadi, ada 47 buah bilangan yang habis dibagi 3 atau 5

1           Studi Kasus

1.1          Bagian A (Individu)

Soal

•       Diberikan  himpunan-himpunan berikut:

•       A  = { 1, 2, 5, 6, 7, 11, 12, 13, 15, 18, 20 }          

•       B  = {  2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 12, 13 }

•       C =  { 1, 2, 3, 6, 8, 9, 10, 13, 17, 18 }

•       S =  { x |   x <= 20 , x Î bilangan asli  }  =  himpunan semesta

a. Gambarkan Diagram Venn himpunan-himpunan di atas dalam satu  gambar.

b. Tentukanlah :

                1. ( C Ç B )  –  ( A Å C )                

                2. ( A – B )   Å ( C Ç B )              

                3. ( C – A )^c  È ( C Å B )

                4. A Å C )  Ç  ( (B – C) Å A^c )

1.2          Bagian B (Kelompok)

Soal 1

Dari survei terhadap 270 orang pengguna komputer khususnya terhadap sistem operasi didapatkan hasil 64 suka dengan microsoft, 94 suka dengan linux, 58 suka dengan freeBSD, 26 suka dengan microsoft dan linux, 28 suka dengan microsoft dan freeBSD, 22 suka dengan linux dan freeBSD, 14 suka ketiga jenis sistem operasi tersebut.  Tentukan:

a. Banyaknya pengguna komputer yang menggunakan paling sedikit satu sistem informasi

b. Gambarkan diagram Venn untuk masalah ini

c. Berapa orang yang menggunakan sistem operasi microsoft atau linux tetapi tidak free BSD?

d. Berapa orang yang tidak suka dengan semua jenis sistem operasi yang disebutkan di atas ?

Organisasi Komputer

ORGANISASI KOMPUTER

Pembahasan organisasi sistem komputer ini, akan dimulai dari sistem komputer EDVAC yang dikenal dengan Primitive Von Neumann Machine dari institut IAS, dengan konsep dasarnya yaitu stored program dengan rancangan dasar mesin Von Neumann yang terdiri dari 5 bagian dasar :

1. Aritmatik Logic Unit
2. Control Unit
3. Memori
4. Input
5. output

SKEMA KOMPUTER IAS JOHN VON NEUMANN, SEDERHANA

Keterangan :

I/O equipment : peralatan input dan output

AC (accumulator): merupakan register yang digunakan untuk menyimpan hasil pengolahan dari ALU

MQ (Multiplier Quotient ): berfungsi untuk menyimpan bit LSB dari operator di ALU

MBR (Memory Buffer Register) : merupakan register yang digunakan untuk menyimpan data dalam satuan

                                                            Word, data yang disimpan di MBR adalah data yang berasal dari memori.

ALU (aritmatika Logic Unit): merupakan unit tempat melakukan semua perhitungan arithmatika dan

                                               keputusan dari operasi logika sesuai dengan instruksi program yang ditetapkan

IBR (instruction Buffer Register) : merupakan register tempat disimpannya instruksi yang berasal dari memori,

      register ini sangat jarang digunakan.

IR (instruction Register)  : merupakan register yang digunakan untuk menyimpan instruksi

PC (Program Counter): merupakan register yang menyimpan alamat dari data di memori yang akan dijemput 

  (data load)atau disimpan (data store)

MAR (Memory Data Register): merupakan register yang memberikan informasi tentang alamat memori untuk

 data yang akan dijemput atau disimpan.

Kemudian diagram von neumann berkembang menjadi : bagan sederhana skema komputer modern

Central Processing Unit (CPU)

Merupakan unit yang bertanggung jawab untuk urusan pemrosesan dan pengolahan data dalam sistem komputer. Sebuah Central Processing Unit (CPU) sistem komputer terdiri dari:

a.        Control Unit (CU),

Tugas yang dilakukan oleh Control Unit adalah:

·       Mengatur dan mengendalikan I/O devices.

·       Mengambil instruksi-instruksi dari main-memory.

·       Mengambil data dari main-memory bila dibutuhkan oleh proses.

·       Mengirim instruksi ke ALU bila ada perhitungan arithmatika atau perbandingan logika; serta mengawasi kerja dari ALU.

·       Menampung (menyimpankan secara sementara) hasil proses ke main-memory.

b.       Arithmetic and Logic Unit (ALU),

Tugas yang dilakukan oleh ALU dalam sistem komputer adalah melakukan semua perhitungan arithmatika dan keputusan dari operasi logika sesuai dengan instruksi program yang ditetapkan.

c.        Register.

Register merupakan sebuah unit simpanan dengan kapasitas kecil namun kecepatannya di atas main-memory yang bertugas menampung data/instruksi yang sedang diproses.

Klasifikasi register:

q   Berdasarkan instruksi yang sedang diproses:

o Instruction Register (IR): digunakan untuk menampung instruksi yang sedang diproses.

o Program Counter (PC): digunakan untuk menampung alamat main-memory yang berisi data/instruksi yang sedang diproses.

q   Berdasarkan data yang sedang diproses:

o Operand register: digunakan untuk menampung data yang sedang diproses.

Accumulator: register yang digunakan untuk menampung hasil pengolahan proses operasi arithmatika dan proses operasi logika yang dilakukan oleh ALU.

Instruction Cycle

Instruction cycle adalah periode yang dibutuhkan oleh sebuah komputer untuk membaca dan memproses instruksi dari memori, atau rentetan aksi pada CPU yang dilakukan untuk mengeksekusi setiap bahasa mesin yang terdapat dalam program.

Dalam melakukan pengolahan/pengeksekusian data, setiap informasi akan melalui beberapa tahap :

1. Fetch instruksi yang akan dieksekusi dari memori kedalam instruction register.
2. Mengubah isi Program Counter sehingga akan menunjuk ke  instruksi selanjutnya.
3. Menterjemahkan jenis dari instruksi yang baru saja diambil
4. Jika instruksi tersebut membutuhkan data yang terdapat dalam memori, harus diketahui denga pasti lokasi data tersebut.
5. Ambil data tersebut,jika memang dibutuhkan, ke dalam register internal  CPU
6. Eksekusi instruksi tersebut
7. Simpan hasilnya di tempat yang sesuai
8. ulangi langkah pertama untuk melakukan pengeksekusian selanjutnya.

Ke-delapan tahap di atas dikenal dengan fetch-decode-execute cycle.

Instruction Cycle dibagi menjadi dua cycle yaitu Fetch Cycle dan Execute Cycle. Berdasarkan ke-delapan tahap diatas maka tahap Fetch cycle mencakup tahap Fetch dan decode, sedangkan tahap execute cycle mencakup pengeksekusian instruksi dan penyimpanan hasil instruksi. Di bawah ini merupakan gambar instruction cycle.

Di bawah ini, merupakan aliran instruction cycle untuk computer PVM (von Neumann)

Pada gambar di atas, Data A dan B berasal dari Memori, kemudian dijemput (fetch), diterjemahkan dan disimpan di register. Kemudian data A dan B akan menempati tempat yang disediakan, begitu pula Instruksi (+) dijemput, diterjemahkan dan disimpan di instruksi register. Kedua data dan instruksi (+) ini telah menyelesaikan tahapan fetch cycle, kemudian masuk ke dalam ALU dan melakukan tahapan execute cycle, dimana data A dan B dikomputasi oleh operator tambah dan hasil penjumlahannya disimpan di Accumulator, dan dikeluarkan oleh register output.

Resume 3 Idiots

Herva Savaruly

30112377

Resume 3 Idiots

       Sebuah video yang menceritakan 3 mahasiswa yang sering di panggil idiot oleh setiap orang, karena tingkah laku mereka yang aneh. 3 mahasiswa tersebut bernama Racho, Farhan dan Raju di universitas no. 1 yang di pimpin oleh seseorang yang menjengkelkan Dr. Viru Sahastrabuddhe dan selalu di panggil virus, virus orang yang sangan kompetitif, instant dan mutlak. Membahas ke-3 mahasiswa tersebut Racho orang yang paling aktif di bandingkan dari 3 mahasiswa tersebut. Racho memiliki pendirian yang teguh, Racho pun amat cerdik dan genius saat seniornya mencoba menggeretak Racho saat di dalam kamar. Racho pun baik hati pada seorang penjaga sekolah yang ingin sekolah. Racho selalu menerapkan ilmu baru pada pelajarannya sehingga dapat mengembangkan teknik mesinnya. Racho orang yang simple dalam menjawab sesuatu. Racho selalu memimpikan menjadi seorang Teknik Mesin.

       Racho orang yang selalu teliti dalam pekerjaannya, racho pun orang yang selalu serius dalam belajar.Racho seorang yang mampu memotivasi temannya untuk menjadi lebih baik. Rancho walaupun terlahirkan dari keluarga kaya, rancho tidak pernah malu dengan apa yang dia lakukan dengan ke sehariannya. Rancho memiliki sifat visioner dalam dirinya. Ke-2 ada yang bernama Farhan, farhan adalah orang yang terlahir dari keluarga sederhana. Farhan adalah anak yang pendiam dan selalu mematuhi perintah orang tua, tetapi farhan tidak mempunyai pendirian yang kuat dalam dirinya, tidak seperti rancho. Farhan pun selalu menjadi orang yang menjengkelkan saat dia menyindir Raju.

       Ke-3 ada nama Raju yaitu mahasiswa yang lebih religius, setiap waktunya dia berikan untuk sang dewa. Raju terbilang orang yang tempramental, karna dia selalu marah bila mendapatkan singgungan dari seseorang. Raju terlahir dari keluarga yang serba ke kurangan sehingga dia di tungtut untuk membiayai keluarganya sendiri. Ke-3 mahasiswa ini memiliki perilaku yang sama saat mereka selalu menjahili orang lain. Yang saya kutip dari video ini adalah “ Jangan pernah melihat seseorang dari tingkah lakunya saja, mungkin saja dari tingkah lakunya tersebut tersembunyi sebuah kemampuan yang lebih luar biasa dari orang lain”.

Herva Savaruly