Wednesday, September 12, 2012

Himpunan Matematika Dikrit


1.1          konsep dasar himpunan

dalam kehidupan nyata banyak permasalahan dilapangan yang berkaitan dengan data khususnya dalam dunia Komputer atau teknologi informasi. Data dalam hal ini data didasarkan sebagai suatu obyek berdasarkan kriteria tertentu. Berbagai jenis data, kumpulan data dan sebagainya sangat erat berkaitan dengan konsep dasar matematika yaitu Himpunan. Himpunan adalah kumpulan dari obyek-obyek yang berbeda. Untuk menyatakan, digunakan huruf capital seperti A, B, C dan sebagainya. Untuk menyatakan anggota-anggotanya digunakan huruf kecil seperti a, b, c dan sebagainya. Obyek dalam himpunan disebut elemen, unsur, entri atau anggota,
contoh, HIMATEK adalah contoh sebuah himpunan didalamnya berisi anggota berupa mahasiswa Program studi Teknik Komputer dimana tiap mahasiswa yang merupakan anggotanya berbeda satu sama lain.

1.1          Cara Penyajian Himpunan

1.1.1          Enumerasi

Cara pertama menyajikan himpunan adalah dengan cara enumerasi yaitu setiap anggota himpunan didaftarkan secara rinci.

Contoh  
       Himpunan empat bilangan asli pertama: A = {1, 2, 3, 4}.     
       Himpunan lima bilangan genap positif pertama: B = {2,4, 6, 8, 10}.
       R  = { a, b, {a, b, c}, {a, c} }
       C  = {a, {a}, {{a}} }                                                 

1.1.2          Simbol-simbol Baku

Cara kedua yaitu penulisan himpunan yang sudah baku dikhususkan bagi himpunan yang telah baku dan sering digunakan dalam penjabaran matematika

Contoh 1
·         P =  himpunan bilangan bulat positif  =  { 1, 2, 3, ... }
·         N =  himpunan bilangan alami (natural)  =  { 1, 2, ... }
·         Z =  himpunan bilangan bulat  =  { ..., -2, -1, 0, 1, 2, ... }
·         Q =  himpunan bilangan rasional
·         R =  himpunan bilangan riil
·         C =  himpunan bilangan kompleks
Terdapat penulisan simbol Himpunan dalam bentuk Universal atau biasa disebut Himpunan Semesta, disimbolkan dengan U.

Contoh 2
Misalkan U = {1, 2, 3, 4, 5} dan A adalah himpunan bagian dari U, dengan A = {1, 3, 5}.

3.2.3 Notasi Pembentuk Himpunan
Cara yang ketiga adalah dengan menggunakan notasi pembentuk himpunan. Penulisan notasi adalah sebagai berikut yaitu { x ú syarat yang harus dipenuhi oleh x }      

Contoh  1
A adalah himpunan bilangan bulat positif kecil  dari 5
 A = { x | x  bilangan bulat positif lebih kecil dari  5} atau A  =  { x | x  P, x < 5 } yang ekivalen dengan A = {1, 2, 3, 4}

Contoh 2
 M = { x | x adalah mahasiswa yang mengambil kuliah IF2151}
3.3  MENGGAMBARKAN SUATU HIMPUNAN
Menggambarkan suatu himpunan secara matematika menggunakan konsep yang diperkenalkan John Venn. Himpunan digambarkan dengan sebuah oval (tidak harus), dan anggota-anggotanya digambarkan dengan sebuah Noktah (titik) yang diberi label, sedangkan Himpunan semestanya digambarkan dengan segi empat.
220px-John_Venn.jpgRounded Rectangle: John Venn (lahir di Kingston upon Hull, Yorkshire, Inggris, 4 Agustus 1834 –meninggal di Cambridge, Cambridgeshire, Inggris, 4 April 1923 pada umur 88 tahun) ialah seorang matematikawan asal Inggris yang menemukan diagram Venn. Dengan menggunakan diagram Venn ini, relasi antar himpunan menjadi lebih mudah dipahami.
Contoh  
Misalkan U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8},  A = {1, 2, 3, 5} dan B = {2, 5, 6, 8}. Dalam konteks ini U merupakan himpunan Semesta dari Himpunan A dan Himpunan B karena Himpunan U melingkupi seluruh anggota Himpunan A dan Himpunan B

1.4          SIMBOL HIMPUNAN

Simbol Î digunakan untuk keanggotaan suatu elemen dan untuk menyatakan bukan anggota digunakan symbol Ï.

Contoh
Jika C = {a, b, {a}, {b, c}, c, d, {e, 9}} maka  a Î C, b ÎC,  e ÏC, f ÏC,  {a} Î C, {e, 9} Î C, {c} ÏC, {d} ÏC, {b} ÏC, {b, c}Î C.

Selain simbol di atas, simbol lain yang sering digunakan adalah Simbol Kardinalitas yang digunakan untuk yang menyatakan banyaknya anggota dari suatu Himpunan. Notasi yang digunakan adalah n(C) atau |C| apabila menggunakan  contoh diatas yaitu Himpunan C = {a, b, {a}, {b, c}, c, d, {e, 9}}  maka kardinalitasnya adalah      n(C) = 7 atau |C| = 7

1.4          ISTILAH-ISTILAH DALAM HIMPUNAN

·         Himpunan kosong  

himpunan yang tidak memiliki anggota. himpunan kosong dinyatakan dengan simbol  Æ atau { }. himpunan {0}  bukan himpunan kosong, melainkan suatu himpunan yang mempunyai satu anggota yaitu bilangan nol.

·         Himpuan yang Ekivalen

dua himpunan yang tidak kosong A dan B dikatakan ekivalen jika banyaknya anggota A sama dengan banyaknya anggota B, ditulis dengan  n(A) = n(B)  ata  |A| = |B|. Dengan demikian dua himpunan yang sama pasti ekivalen.

·         Himpunan Bagian

himpunan B dikatakan himpunan bagian dari himpunan A  jika  setiap xÎ B maka  x Î A , dinotasikan dengan  B Ì A . Dengan demikian B Ì A  dibaca sebagai  B terkandung di dalam A”. kita dapat juga menulis dengan       A É B , yang berarti  A mengandung B.

·         Himpunan Kuasa

himpunan kuasa dari himpunan A adalah suatu himpunan yang anggotanya adalah semua himpunan bagian dari A, termasuk himpunan kosong dan himpunan A sendiri. himpunan kuasa dinotasikan dengan p(a)  atau  2a Contoh   :  jika  A = {a, b, 5},  maka himpunan kuasa dari A adalah {  {  }, {a}, {b}, [5}, {a,b}, {a,5}, {b,5}, {a,b,5} }

 

3.6    OPERASI DALAM HIMPUNAN

3.6.1 Operasi Gabungan  (Union)

Defenisi :   A U B  =  { x | x Î a   atau   x Îb }

Contoh

A = { 2, 3, 5, 7, 9} ; B = { 0, 1, 2, 4, 5, 6, } ; E = {1, 2, 4 }; C = { 10, 11, 14, 15} ;  D = { anto, 14, l}
maka :    
A U B      =  { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9} dan  A U D  =  {2, 3, 5, 7, 9, anto, 14, l}
B U C       =  {…………………………………………………………………………………………}         
B U D      =  {…………………………………………………………………………………………}             
C U D      =  {…………………………………………………………………………………………}

3.6.2  Operasi irisan (Intersection)
Definisi :    A Ç B  =  { x | x Î A   dan   x Î B }
Contoh :                                              
A = { 2, 3, 5, 7, 9}; B = { 0, 1, 2, 4, 5, 6, }; C = { 10, 11, 14, 15}; D = { ANTO, 14, L}; E = {1, 2, 4 }                                             
maka
A Ç B = {2, 5}        E Ç B = { 1,2,4}     A Ç C = { }           A Ç E = {2}               D Ç C = {14}          A Ç D = { }

3.6.4  Operasi beda setangkup (Simetris)
Definisi: A Å B = { x | (x Î A atau  x Î B) dan  x Ï(A Ç B) }
Operasi beda setangkup dapat juga diperoleh dengan cara A Å B  =  (A U B) – (A Ç B) atau A Å B  =  (A - B) U (B - A)
contoh   
        A = {1,2,3,5,6,8,9,10}    ;    B = {2,7,8,11} ;   C = {1,3,5,7,9,11}    ;    D = {0,1,2,5,6,7,9,12}
maka    
       A Å B ={1,2,3,5,6, 7,8,9,10,11} = {1,3,5,6, 7, 9,10,11}
       B Å C = {1,2,3,5, 7,8,9, 11} = {1,2,3,5,8,9}
       A Å C = {………………………………………………………………………………………}
       A Å D = {………………………………………………………………………………………}

3.6.5. Operasi  Pelengkap (Complement)
definisi :  AC    =  { x | x Ï A dan  x Î S }
contoh  :  
       S = { x | x bilangan asli  £ 14}; A = { 2, 3, 5, 6, 8); B = {1, 2, 4, 6, 7, 9, 13}
maka : 
       AC = { 1,4,7, 9,10,11,12,13,14}  dan BC = {3,5, 8,11,12,14}

3.7 PRINSIP INKLUSI – EKSKLUSI DALAM HIMPUNAN
3.7.1 Konsep Inklusi dan Eksklusi dengan Dua Himpunan
Jika  A dan B adalah himpunan-himpunan berhingga, maka  A U B  dan  A ÇB  juga berhingga, dan
| A U B | = |A| + |B| - | A Ç B |
Banyaknya elemen hasil penggabungan dua himpunan A dan B sama dengan banyaknya elemen himpunan A  ditambah dengan banyaknya elemen himpuanan B, dikurangi dengan  banyaknya elemen hasil irisan A dan B

3.7.2 Konsep Inklusi dan Eksklusi dengan Tiga Himpunan
Jika A, B, dan C adalah himpunan-himpunan berhingga, maka
| A U B U C | =  |A|  + |B| + |C|  -  |A Ç B|  -   |A Ç C|  -  |B Ç C|  +  A Ç B Ç C |
Contoh 1
Hasil survei terhadap  60 orang pembaca Majalah Komputer, diperoleh data sebagai berikut:
25 orang membaca majalah InfoTech, 26 orang membaca majalah Chip, 26 orang membaca PC Magazine, 9 orang membaca InfoTech dan PC Magazine, 11 orang membaca InfoTech dan Chip, 8 orang membaca Chip dan PC Magazine, 3 orang membaca Ketiganya. Tentukan:
a. Banyaknya orang yang membaca paling sedikit satu buah Majalah Komputer.
b. Gambarkan diagram Venn untuk masalah ini,
c. Berapa orang yang membaca hanya satu Majalah?

Solusi Kita misalkan:
A = Himpunan orang yg suka baca Majalah InfoTech; B = Himpunan orang yg suka baca majalah Chip;
C = Himpunan orang yg suka baca Majalah PC Magazine
Maka
|A| = 25                |B| = 26                 |C| = 26                
|A Ç B|=  11         |B Ç C|=  8           |A Ç C|=  9           |A Ç B Ç  C|=  3                                 

Sehingga
a.  |A È B È C| = |A|  + |B| + |C|  -  |A Ç B|  -   |A Ç C|  -  |B Ç C|  +  A Ç B Ç C |
                            =   25 + 26 + 26  - 11 – 9 – 8 + 3 = 52
Dengan menggunakan alat bantu Diagram Venn, kita juga dapat menentukan
       Yang baca InfoTech & Chip tetapi tidak PC Magazine    = 11 – 3                                 = 8
       Yang baca InfoTech & PC Magazine tetapi tidak Chip    = 9 – 3                    = 6
       Yang baca Chip & PC Magazine tetapi tidak InfoTech    = 8 – 3                    = 5
       Yang baca InfoTech saja                                                      = 25 – 8 – 3 – 6    = 8
       Yang baca Chip saja                                                              = 26 – 5 – 3 – 8    = 10
       Yang baca PC Magazine saja                                               = 26 – 5 – 3 – 6    = 12
c) Banyak orang yang membaca hanya satu Majalah saja = 8  + 10 + 12 = 30

Contoh 2
Berapa banyaknya bilangan bulat antara 1 dan 100 yang habis  dibagi 3 atau 5?
Penyelesaian:
A = himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 3, B = himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 5, A Ç B =  himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 3 dan 5 (yaitu himpunan bilangan bulat yang habis dibagi oleh KPK – Kelipatan Persekutuan Terkecil – dari 3 dan 5, yaitu 15),
Masalah: ½A È B½
Solusi
½A½ = ë100/3û  = 33, ½B½ = ë100/5û  = 20, ½A Ç B½ = ë100/15û  = 6
Maka ½A È B½ = ½A½ + ½B½  ½A Ç B½ = 33 + 20 – 6 = 47 jadi, ada 47 buah bilangan yang habis dibagi 3 atau 5

1           Studi Kasus

1.1          Bagian A (Individu)

Soal
       Diberikan  himpunan-himpunan berikut:
       A  = { 1, 2, 5, 6, 7, 11, 12, 13, 15, 18, 20 }          
       B  = {  2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 12, 13 }
       C =  { 1, 2, 3, 6, 8, 9, 10, 13, 17, 18 }
       S =  { x |   x <= 20 , x Î bilangan asli  }  =  himpunan semesta
a. Gambarkan Diagram Venn himpunan-himpunan di atas dalam satu  gambar.
b. Tentukanlah :
                1. ( C Ç B )    ( A Å C )                
                2. ( A B )   Å ( C Ç B )              
                3. ( C A )c  È ( C Å B )
                4. A Å C )  Ç  ( (B – C) Å Ac )

1.2          Bagian B (Kelompok)

Soal 1
Dari survei terhadap 270 orang pengguna komputer khususnya terhadap sistem operasi didapatkan hasil 64 suka dengan microsoft, 94 suka dengan linux, 58 suka dengan freeBSD, 26 suka dengan microsoft dan linux, 28 suka dengan microsoft dan freeBSD, 22 suka dengan linux dan freeBSD, 14 suka ketiga jenis sistem operasi tersebut.  Tentukan:
a. Banyaknya pengguna komputer yang menggunakan paling sedikit satu sistem informasi
b. Gambarkan diagram Venn untuk masalah ini
c. Berapa orang yang menggunakan sistem operasi microsoft atau linux tetapi tidak free BSD?
d. Berapa orang yang tidak suka dengan semua jenis sistem operasi yang disebutkan di atas ?






No comments:

http://goo.gl/BGVrJP

Follow by Email

MY Motto

My Photo
giving amenity to all visitor.

Total Pageviews