1.1 konsep dasar himpunan
dalam kehidupan nyata banyak permasalahan dilapangan yang berkaitan dengan data khususnya dalam dunia Komputer atau teknologi informasi. Data dalam hal ini data didasarkan sebagai suatu obyek berdasarkan kriteria tertentu. Berbagai jenis data, kumpulan data dan sebagainya sangat erat berkaitan dengan konsep dasar matematika yaitu Himpunan. Himpunan adalah kumpulan dari obyek-obyek yang berbeda. Untuk menyatakan, digunakan huruf capital seperti A, B, C dan sebagainya. Untuk menyatakan anggota-anggotanya digunakan huruf kecil seperti a, b, c dan sebagainya. Obyek dalam himpunan disebut elemen, unsur, entri atau anggota,
contoh, HIMATEK adalah contoh sebuah himpunan didalamnya berisi anggota
berupa mahasiswa Program studi Teknik Komputer dimana tiap mahasiswa yang
merupakan anggotanya berbeda satu sama lain.
1.1 Cara Penyajian Himpunan
1.1.1 Enumerasi
Cara pertama menyajikan
himpunan adalah dengan cara enumerasi yaitu setiap anggota himpunan didaftarkan
secara rinci.
Contoh
•
Himpunan
empat bilangan asli pertama: A = {1, 2, 3, 4}.
•
Himpunan
lima bilangan genap positif pertama: B = {2,4, 6, 8, 10}.
•
R = { a,
b, {a, b, c}, {a, c} }
•
C = {a,
{a}, {{a}} }
1.1.2 Simbol-simbol Baku
Cara kedua yaitu penulisan
himpunan yang sudah baku dikhususkan bagi himpunan yang telah baku dan sering
digunakan dalam penjabaran matematika
Contoh 1
·
P =
himpunan bilangan bulat positif
= { 1, 2, 3, ... }
·
N =
himpunan bilangan alami (natural)
= { 1, 2, ... }
·
Z =
himpunan bilangan bulat = { ..., -2, -1, 0, 1, 2, ... }
·
Q =
himpunan bilangan rasional
·
R =
himpunan bilangan riil
·
C =
himpunan bilangan kompleks
Terdapat penulisan simbol
Himpunan dalam bentuk Universal atau biasa disebut Himpunan Semesta,
disimbolkan dengan U.
Contoh 2
Misalkan U = {1, 2, 3, 4, 5}
dan A adalah himpunan bagian dari U, dengan A = {1, 3, 5}.
3.2.3 Notasi Pembentuk
Himpunan
Cara yang ketiga adalah dengan
menggunakan notasi pembentuk himpunan. Penulisan notasi adalah sebagai berikut
yaitu { x ú syarat yang harus dipenuhi oleh x }
Contoh 1
A adalah himpunan bilangan bulat positif
kecil dari 5
A = { x | x bilangan bulat positif lebih kecil dari 5} atau A = { x
| x P, x < 5 } yang
ekivalen dengan A = {1, 2, 3, 4}
Contoh 2
M = { x | x adalah mahasiswa yang mengambil kuliah IF2151}
3.3 MENGGAMBARKAN
SUATU HIMPUNAN
Menggambarkan suatu himpunan secara
matematika menggunakan konsep yang diperkenalkan John Venn. Himpunan digambarkan dengan sebuah oval
(tidak harus), dan anggota-anggotanya digambarkan dengan sebuah Noktah (titik)
yang diberi label, sedangkan Himpunan semestanya digambarkan dengan segi empat.
Contoh
Misalkan U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8},
A = {1, 2, 3, 5} dan B = {2, 5, 6, 8}. Dalam konteks ini U
merupakan himpunan Semesta dari Himpunan A dan Himpunan B karena Himpunan U
melingkupi seluruh anggota Himpunan A dan Himpunan B
1.4 SIMBOL HIMPUNAN
Simbol Î digunakan untuk keanggotaan suatu elemen dan
untuk menyatakan bukan anggota digunakan symbol Ï.
Contoh
Jika C = {a, b, {a}, {b, c}, c,
d, {e, 9}} maka a Î C, b ÎC, e ÏC, f ÏC, {a} Î C, {e, 9} Î C, {c} ÏC, {d} ÏC, {b} ÏC, {b, c}Î C.
Selain simbol di atas, simbol
lain yang sering digunakan adalah Simbol Kardinalitas yang digunakan untuk yang
menyatakan banyaknya anggota dari suatu Himpunan. Notasi yang digunakan adalah
n(C) atau |C| apabila menggunakan
contoh diatas yaitu Himpunan C = {a, b, {a}, {b, c}, c, d, {e, 9}} maka kardinalitasnya adalah n(C) = 7 atau |C| = 7
1.4 ISTILAH-ISTILAH DALAM HIMPUNAN
· Himpunan kosong
himpunan yang tidak memiliki anggota. himpunan kosong dinyatakan dengan simbol Æ atau { }. himpunan {0} bukan himpunan kosong, melainkan suatu himpunan yang mempunyai satu anggota yaitu bilangan nol.
· Himpuan yang Ekivalen
dua himpunan yang tidak kosong A dan B dikatakan ekivalen jika banyaknya anggota A sama dengan banyaknya anggota B, ditulis dengan n(A) = n(B) ata |A| = |B|. Dengan demikian dua himpunan yang sama pasti ekivalen.
· Himpunan Bagian
himpunan B dikatakan himpunan bagian dari himpunan A jika setiap xÎ B maka x Î A , dinotasikan dengan B Ì A . Dengan demikian B Ì A dibaca sebagai “B terkandung di dalam A”. kita dapat juga menulis dengan A É B , yang berarti A mengandung B.
· Himpunan Kuasa
himpunan kuasa dari himpunan A adalah suatu himpunan yang anggotanya adalah semua himpunan bagian dari A, termasuk himpunan kosong dan himpunan A sendiri. himpunan kuasa dinotasikan dengan p(a) atau 2a Contoh : jika A = {a, b, 5}, maka himpunan kuasa dari A adalah { { }, {a}, {b}, [5}, {a,b}, {a,5}, {b,5}, {a,b,5} }
3.6 OPERASI DALAM HIMPUNAN
3.6.1 Operasi Gabungan (Union)
Defenisi : A U B = { x | x Î a atau x Îb }
Contoh
A = { 2, 3, 5, 7, 9} ; B = { 0,
1, 2, 4, 5, 6, } ; E = {1, 2, 4 }; C = { 10, 11, 14, 15} ; D = { anto, 14, l}
maka :
A U B = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9} dan A U D = {2, 3, 5, 7, 9, anto, 14, l}
B U C = {…………………………………………………………………………………………}
B U D = {…………………………………………………………………………………………}
C U D = {…………………………………………………………………………………………}
3.6.2 Operasi irisan (Intersection)
Definisi : A Ç B = { x | x Î A dan x Î B }
Contoh :
A = { 2, 3, 5, 7, 9}; B = { 0,
1, 2, 4, 5, 6, }; C = { 10, 11, 14, 15}; D = { ANTO, 14, L}; E = {1, 2, 4
}
maka
A Ç B = {2, 5} E
Ç B = { 1,2,4} A Ç C = { } A Ç E = {2} D Ç C = {14} A
Ç D = { }
3.6.4 Operasi beda setangkup (Simetris)
Definisi: A Å B = { x | (x Î A atau x Î B) dan x Ï(A Ç B) }
Operasi beda setangkup dapat
juga diperoleh dengan cara A Å B = (A U B) – (A Ç B) atau A Å B = (A - B) U (B - A)
contoh
•
A = {1,2,3,5,6,8,9,10} ;
B = {2,7,8,11} ; C = {1,3,5,7,9,11} ;
D = {0,1,2,5,6,7,9,12}
maka
•
A Å B ={1,2,3,5,6, 7,8,9,10,11} = {1,3,5,6, 7,
9,10,11}
•
B Å C = {1,2,3,5, 7,8,9, 11} = {1,2,3,5,8,9}
•
A Å C = {………………………………………………………………………………………}
•
A Å D = {………………………………………………………………………………………}
3.6.5. Operasi
Pelengkap (Complement)
definisi : AC = {
x | x Ï A dan
x Î S }
contoh :
•
S = { x
| x bilangan asli £ 14}; A = { 2, 3, 5, 6, 8); B = {1, 2, 4, 6,
7, 9, 13}
maka :
•
AC
= { 1,4,7, 9,10,11,12,13,14} dan BC
= {3,5, 8,11,12,14}
3.7 PRINSIP INKLUSI – EKSKLUSI DALAM HIMPUNAN
3.7.1 Konsep Inklusi dan Eksklusi dengan Dua
Himpunan
Jika A dan B adalah himpunan-himpunan berhingga,
maka A U B dan A
ÇB juga berhingga, dan
| A U B |
= |A| + |B| - | A Ç B |
Banyaknya elemen hasil
penggabungan dua himpunan A dan B sama dengan banyaknya elemen himpunan A ditambah dengan banyaknya elemen himpuanan B,
dikurangi dengan banyaknya elemen hasil
irisan A dan B
3.7.2 Konsep Inklusi dan Eksklusi dengan Tiga
Himpunan
Jika A, B, dan C adalah
himpunan-himpunan berhingga, maka
| A U B U
C | = |A| + |B| + |C|
- |A Ç B|
- |A Ç C|
- |B Ç C|
+ A Ç B Ç C |
Contoh 1
Hasil survei terhadap 60 orang pembaca Majalah Komputer, diperoleh
data sebagai berikut:
25 orang membaca majalah InfoTech, 26
orang membaca majalah Chip, 26 orang membaca PC Magazine, 9 orang
membaca InfoTech dan PC Magazine, 11 orang membaca InfoTech
dan Chip, 8 orang membaca Chip dan PC Magazine, 3 orang
membaca Ketiganya. Tentukan:
a. Banyaknya orang yang membaca
paling sedikit satu buah Majalah Komputer.
b. Gambarkan diagram Venn
untuk masalah ini,
c. Berapa orang yang membaca
hanya satu Majalah?
Solusi Kita misalkan:
A = Himpunan orang yg suka baca
Majalah InfoTech; B = Himpunan orang yg suka baca majalah Chip;
C = Himpunan orang yg suka baca
Majalah PC Magazine
Maka
|A| = 25 |B| = 26 |C| = 26
|A Ç B|=
11 |B Ç C|= 8 |A Ç C|= 9 |A Ç B Ç
C|= 3
Sehingga
a. |A È B È C| = |A|
+ |B| + |C| - |A Ç B| - |A Ç C| - |B Ç C| + A Ç B Ç C |
= 25 + 26 + 26
- 11 – 9 – 8 + 3 = 52
Dengan menggunakan alat bantu
Diagram Venn, kita juga dapat menentukan
•
Yang baca
InfoTech & Chip tetapi tidak PC Magazine =
11 – 3 = 8
•
Yang baca
InfoTech & PC Magazine tetapi tidak Chip =
9 – 3 = 6
•
Yang baca
Chip & PC Magazine tetapi tidak InfoTech =
8 – 3 = 5
•
Yang baca
InfoTech saja =
25 – 8 – 3 – 6 = 8
•
Yang baca
Chip saja =
26 – 5 – 3 – 8 = 10
•
Yang baca
PC Magazine saja =
26 – 5 – 3 – 6 = 12
c) Banyak orang yang membaca hanya satu Majalah saja = 8 + 10 + 12 = 30
Contoh 2
Berapa banyaknya bilangan bulat
antara 1 dan 100 yang habis dibagi 3
atau 5?
Penyelesaian:
A = himpunan bilangan bulat yang habis dibagi
3, B = himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 5, A Ç B =
himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 3 dan 5 (yaitu himpunan
bilangan bulat yang habis dibagi oleh KPK – Kelipatan Persekutuan Terkecil –
dari 3 dan 5, yaitu 15),
Masalah: ½A È B½
Solusi
½A½ = ë100/3û = 33, ½B½ = ë100/5û = 20, ½A Ç B½ = ë100/15û = 6
Maka ½A È B½ = ½A½ + ½B½ – ½A Ç B½ = 33 + 20 – 6 = 47 jadi, ada 47 buah bilangan yang habis dibagi 3 atau
5
1 Studi Kasus
1.1 Bagian A (Individu)
Soal
•
Diberikan himpunan-himpunan berikut:
•
A = {
1, 2, 5, 6, 7, 11, 12, 13, 15, 18, 20 }
•
B = { 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 12, 13 }
•
C = {
1, 2, 3, 6, 8, 9, 10, 13, 17, 18 }
•
S = {
x | x <= 20 , x
Î bilangan asli }
= himpunan semesta
a. Gambarkan Diagram Venn
himpunan-himpunan di atas dalam satu
gambar.
b. Tentukanlah :
1. ( C Ç B ) – ( A Å C )
2. ( A – B )
Å ( C Ç B )
3. ( C – A )c È ( C Å B )
4. A Å C ) Ç ( (B – C) Å Ac )
1.2 Bagian B (Kelompok)
Soal 1
Dari survei terhadap 270 orang
pengguna komputer khususnya terhadap sistem operasi didapatkan hasil 64 suka
dengan microsoft, 94 suka dengan linux, 58 suka dengan freeBSD,
26 suka dengan microsoft dan linux, 28 suka dengan microsoft dan
freeBSD, 22 suka dengan linux dan freeBSD, 14 suka ketiga
jenis sistem operasi tersebut. Tentukan:
a. Banyaknya pengguna komputer
yang menggunakan paling sedikit satu sistem informasi
b. Gambarkan diagram Venn
untuk masalah ini
c. Berapa orang yang menggunakan sistem operasi microsoft atau linux
tetapi tidak free BSD?
d. Berapa orang yang tidak suka
dengan semua jenis sistem operasi yang disebutkan di atas ?
No comments:
Post a Comment